Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - 3 x^{2}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 4 x$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x + 4 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 6 x + 4$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 x + 4 = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 x = - 4$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 4$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 x = - 4$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 4}{- 6}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 6}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 6$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{- 2 (2)}{- 6}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 3}$

Étape 4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ sur $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = - 3 {(\frac{2}{3})}^{2} + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 \frac{4}{3^{2}} + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 3 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = - 1 (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{4}{3})$ comme $- (\frac{4}{3})$ .

$f (\frac{2}{3}) = - (\frac{4}{3}) + 4 (\frac{2}{3})$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $4 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 5.2.1.6.1

Associez $4$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4 + 8}{3}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = - 3 x^{2} + 4 x$ est $y = \frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Étape 7