Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x^{2} + 3 x - 6$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + 3 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$12 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x + 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x + 3$ et $0$ .

$12 x + 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x + 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = - 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $12 x = - 3$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = - 3$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 3}{12}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{12}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $12$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$x = \frac{3 (- 1)}{12}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 4}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ sur $x = - \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{4^{2}}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 6 (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{4}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{4}) = 3 (\frac{1}{8}) + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.7

Associez $3$ et $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + 3 (- \frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 4.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - 3 (\frac{1}{4}) - 6$

Étape 4.2.1.8.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{- 3}{4} - 6$

Étape 4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3}{4} - 6$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 6 - 48}{8}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 3 - 48}{8}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $48$ de $- 3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 51}{8}$

Étape 4.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{4}) = - \frac{51}{8}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{51}{8}$ .

$- \frac{51}{8}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 6 x^{2} + 3 x - 6$ est $y = - \frac{51}{8}$ .

$y = - \frac{51}{8}$

Étape 6