Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 5 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$6 x - 5 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 5 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 5$ et $0$ .

$6 x - 5$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 5 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 5$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 5$ par $6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 5$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{5}{6}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{6}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ sur $x = \frac{5}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = 3 {(\frac{5}{6})}^{2} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{5^{2}}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{6^{2}}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{36}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 (12)}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 12}) - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) + 4$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 5 (\frac{5}{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.5.1

Associez $- 5$ et $\frac{5}{6}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} + 4$

Étape 4.2.1.5.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} + 4$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25}{6} + 4$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 4$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 4 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 4 \cdot 12}{12}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 + 48}{12}$

Étape 4.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{- 25 + 48}{12}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 25$ et $48$ .

$f (\frac{5}{6}) = \frac{23}{12}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $\frac{23}{12}$ .

$\frac{23}{12}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$ est $y = \frac{23}{12}$ .

$y = \frac{23}{12}$

Étape 6