Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 6 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $8 x + 6$ et $0$ .

$8 x + 6$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x + 6 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$8 x = - 6$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $8 x = - 6$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 6$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 6}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{8}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $8$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{8}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ sur $x = - \frac{3}{4}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4^{2}}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{16}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 (4)}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 4}) + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (- \frac{3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 6 (\frac{- 3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 (3) (\frac{- 3}{4}) - 9$

Étape 4.2.1.7.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Étape 4.2.1.7.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 2})) - 9$

Étape 4.2.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + 3 (\frac{- 3}{2}) - 9$

Étape 4.2.1.8

Associez $3$ et $\frac{- 3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{2} - 9$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} - 9$

Étape 4.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 9$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 9$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 9$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 9 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 9 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 36}{4}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 36}{4}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $36$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 45}{4}$

Étape 4.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{45}{4}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{45}{4}$ .

$- \frac{45}{4}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 4 x^{2} + 6 x - 9$ est $y = - \frac{45}{4}$ .

$y = - \frac{45}{4}$

Étape 6