Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$6 x + 4$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x + 4 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 4$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $6 x = - 4$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 4$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ sur $x = - \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 5$

Étape 4.2.1.7.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 5$

Étape 4.2.1.7.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 5$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 5$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{4 - 8}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 + \frac{- 4}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 - \frac{4}{3}$

Étape 4.2.3

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 5 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 15 - 4}{3}$

Étape 4.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 15$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 19}{3}$

Étape 4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{19}{3}$

Étape 4.2.8

La réponse finale est $- \frac{19}{3}$ .

$- \frac{19}{3}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 3 x^{2} + 4 x - 5$ est $y = - \frac{19}{3}$ .

$y = - \frac{19}{3}$

Étape 6