Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \sin (x)$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (x)$ sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (x)$ sur $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 5.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Étape 5.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Étape 5.2.7

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \sin (x)$ est $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Étape 7