Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (5 x) + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.5

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 \cos (5 x) - 2 \sin (2 x)$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.27239707, - 0.36860767, - 0.86117382, 1.01576505, - 1.57079632, 1.57079632, 2.12582759$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = 0.27239707$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.27239707$ dans l’expression.

$f (0.27239707) = \sin (5 (0.27239707)) + \cos (2 (0.27239707))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $5$ par $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (2 (0.27239707))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.27239707$ .

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$ .

$\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = - 0.36860767$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.36860767$ dans l’expression.

$f (- 0.36860767) = \sin (5 (- 0.36860767)) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (2 (- 0.36860767))$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.36860767$ .

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$ .

$\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = - 0.86117382$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.86117382$ dans l’expression.

$f (- 0.86117382) = \sin (5 (- 0.86117382)) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (2 (- 0.86117382))$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.86117382$ .

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$ .

$\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

Étape 7

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = 1.01576505$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.01576505$ dans l’expression.

$f (1.01576505) = \sin (5 (1.01576505)) + \cos (2 (1.01576505))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $5$ par $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2 (1.01576505))$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $1.01576505$ .

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$ .

$\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

Étape 8

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = - 1.57079632$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.57079632$ dans l’expression.

$f (- 1.57079632) = \sin (5 (- 1.57079632)) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (2 (- 1.57079632))$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1.57079632$ .

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Étape 8.2.2

La réponse finale est $\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$ .

$\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

Étape 9

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = 1.57079632$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.57079632$ dans l’expression.

$f (1.57079632) = \sin (5 (1.57079632)) + \cos (2 (1.57079632))$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $5$ par $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (2 (1.57079632))$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $2$ par $1.57079632$ .

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Étape 9.2.2

La réponse finale est $\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$ .

$\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

Étape 10

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sur $x = 2.12582759$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $2.12582759$ dans l’expression.

$f (2.12582759) = \sin (5 (2.12582759)) + \cos (2 (2.12582759))$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $5$ par $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (2 (2.12582759))$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $2$ par $2.12582759$ .

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Étape 10.2.2

La réponse finale est $\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Étape 11

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ sont $y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ .

$y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

Étape 12