Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 x^{2} + 5 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 x + 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$14 x + 5$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $14 x + 5 = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$14 x = - 5$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $14 x = - 5$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $14 x = - 5$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{14}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{14}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ sur $x = - \frac{5}{14}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{14}$ dans l’expression.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 {(- \frac{5}{14})}^{2} + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{14})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (1 (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{14^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{5^{2}}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.5

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{196}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.2.1.6.1

Factorisez $7$ à partir de $196$ .

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 (28)}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 \cdot 28}) + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + 5 (- \frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $5 (- \frac{5}{14})$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - 5 (\frac{5}{14})$

Étape 4.2.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{14}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 5 \cdot 5}{14}$

Étape 4.2.1.7.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 25}{14}$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \frac{25}{14}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $28$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{25}{14}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{14 \cdot 2}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $14$ par $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{28}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{28}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 50}{28}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{- 25}{28}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{14}) = - \frac{25}{28}$

Étape 4.2.7

La réponse finale est $- \frac{25}{28}$ .

$- \frac{25}{28}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ est $y = - \frac{25}{28}$ .

$y = - \frac{25}{28}$

Étape 6