Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} e^{- 2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (4 x^{3})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x}$ à partir de $- 2 x^{4} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x}$ à partir de $4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x}$ à partir de $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2)$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- 2 x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{- 2 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{- 2 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $- x + 2$ égal à $0$ .

$- x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $- x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} e^{- 2 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 e^{0}$

Étape 4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{4} e^{- 2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 e^{- 2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$16 e^{- 4}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{e^{4}}$

Étape 4.2.2.4

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{16}{e^{4}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, \frac{16}{e^{4}})$

Étape 5