Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x$ , $[- 5, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 3$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 3 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 3 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 2), (- 1, 2)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 5$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

${(- 5)}^{3} - 3 \cdot - 5$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$- 125 - 3 \cdot - 5$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$- 125 + 15$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $- 125$ et $15$ .

$- 110$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 3 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$1 - 3$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 5, - 110), (1, - 2)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 1, 2)$

Minimum absolu : $(- 5, - 110)$

Étape 4