Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x - 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $10 x - 4$ et $0$ .

$10 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$10 x = 4$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = 4$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 4$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{4}{10}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{10}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $10$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{10}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{5}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ sur $x = \frac{2}{5}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{5}) = 5 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) + 3$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 4 (\frac{2}{5})$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} + 3$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} + 3$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{4 - 8}{5}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 + \frac{- 4}{5}$

Étape 3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{5}) = 3 - \frac{4}{5}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 3.2.4

Associez $3$ et $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 5 - 4}{5}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{15 - 4}{5}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $4$ de $15$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 3$ est $y = \frac{11}{5}$ .

$y = \frac{11}{5}$

Étape 5