Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{9 - x}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt{9 - x}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{9 - x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x}$ comme ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.8.3

Placez ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 2.1.1.14.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.14.2

Associez $\frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.14.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.14.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.14.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 2.1.1.16

Multipliez ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.1.1.17

Pour écrire ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.18

Associez ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.20

Multipliez ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.20.1

Déplacez ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.20.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.20.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- x + {(9 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.21

Simplifiez ${(9 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (9 - x) \cdot 2}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.22

Déplacez $2$ à gauche de $9 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (9 - x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23

Simplifiez

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Étape 2.1.1.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 2 \cdot 9 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.23.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{- x + 18 + 2 (- x)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- x + 18 - 2 x}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x + 18$ .

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Étape 2.1.1.23.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 18}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.3.2

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (6)$ .

$\frac{3 (- x + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.5

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.7

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.1.23.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 (x - 6)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 6$ et $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(9 - x)}^{1}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.5

Différenciez.

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Étape 2.1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.5.4.2

Multipliez ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) \frac{d}{d x} [{(9 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{9 - x}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 - x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2} {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.11.3

Placez ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Étape 2.1.2.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{9 - x}$

Étape 2.1.2.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x])}{9 - x}$

Étape 2.1.2.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Étape 2.1.2.16

Multipliez.

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Étape 2.1.2.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Étape 2.1.2.16.2

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{9 - x}$

Étape 2.1.2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{9 - x}$

Étape 2.1.2.18

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.18.1

Multipliez $x - 6$ par $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$

Étape 2.1.2.18.2

Multipliez $\frac{{(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x}$ par $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 3}{(9 - x) \cdot 2}$

Étape 2.1.2.18.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.18.3.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(9 - x) \cdot 2}$

Étape 2.1.2.18.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $9 - x$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (9 - x)}$

Étape 2.1.2.19

Simplifiez

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Étape 2.1.2.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (9 - x)}$

Étape 2.1.2.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.19.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1.2.19.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{3 ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 6) \frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.2

Laissez $u_{2} = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 2.1.2.19.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.19.3.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 6}{2 u_{2}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.19.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.19.3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.19.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.19.3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \frac{2 {(9 - x)}^{1} + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.2

Simplifiez

$- \frac{3 \frac{2 (9 - x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \frac{2 \cdot 9 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{3 \frac{18 + 2 (- x) + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{3 \frac{18 - 2 x + x - 6}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$- \frac{3 \frac{- 2 x + x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.3.4.3

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$- \frac{3 \frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.4

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.19.4.1

Associez $3$ et $\frac{- x + 12}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 9 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 + 2 (- x)}$

Étape 2.1.2.19.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$

Étape 2.1.2.19.4.4

Réécrivez $\frac{\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{18 - 2 x}$ comme un produit.

$- (\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 - 2 x})$

Étape 2.1.2.19.4.5

Multipliez $\frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{18 - 2 x}$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (18 - 2 x)}$

Étape 2.1.2.19.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.19.5.1

Factorisez $2$ à partir de $18 - 2 x$ .

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Étape 2.1.2.19.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) - 2 x)}$

Étape 2.1.2.19.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9) + 2 (- x))}$

Étape 2.1.2.19.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (9) + 2 (- x)$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (9 - x))}$

$- \frac{3 (- x + 12)}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (9 - x)}$

Étape 2.1.2.19.5.2

Associez les exposants.

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Étape 2.1.2.19.5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (9 - x)}$

Étape 2.1.2.19.5.2.2

Élevez $9 - x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 ({(9 - x)}^{1} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.1.2.19.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.5.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.5.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{3 (- x + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{3 (- (x) + 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.7

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$- \frac{3 (- (x) - 1 (- 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$- \frac{3 (- (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.9

Réécrivez $- (x - 12)$ comme $- 1 (x - 12)$ .

$- \frac{3 (- 1 (x - 12))}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.2.19.12

Multipliez $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x - 12) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x - 12) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x - 12) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 12$ par $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x - 12 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 2.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3 (x - 12)}{4 {(9 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = x \sqrt{9 - x}$ .

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Étape 3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 - x \geq 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 9$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x \leq 9$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 9]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 9}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 9]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 9}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 9]$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 9]$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) - 12)}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $3 ((0) - 12)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 ({(9 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 3))}{4 {(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{3 (0 - 3)}{{(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{{(9 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $0$ de $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.4.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 5.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{3^{3}}$

Étape 5.2.4.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 3}{27}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 9}{27}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $27$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$f'' (0) = \frac{9 (- 1)}{27}$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 3}$

Étape 5.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 3}$

Étape 5.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 9]$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 9]$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6