Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - 4 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $9 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$9 x^{2} - 4 x$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{2} - 4 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2} - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$x (9 x) - 4 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x (9 x) + x \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x) + x \cdot - 4$ .

$x (9 x - 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 x - 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $9 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $9 x - 4$ égal à $0$ .

$9 x - 4 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $9 x - 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x = 4$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = 4$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 4$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{9}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{9}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 9$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Étape 3.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 9$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f (0) = - 9$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 9$ .

$- 9$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ sur $x = \frac{4}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{9}$ dans l’expression.

$f (\frac{4}{9}) = 3 {(\frac{4}{9})}^{3} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{4^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{729}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 (243)}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Étape 4.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{4^{2}}{9^{2}} - 9$

Étape 4.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{16}{9^{2}} - 9$

Étape 4.2.1.7

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 (\frac{16}{81}) - 9$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $- 2 (\frac{16}{81})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.8.1

Associez $- 2$ et $\frac{16}{81}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 2 \cdot 16}{81} - 9$

Étape 4.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 32}{81} - 9$

Étape 4.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} - 9$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{32}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - (\frac{32}{81} \cdot \frac{3}{3}) - 9$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{32}{81}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} - 9$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Étape 4.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $3$ par $81$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{243} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 32 \cdot 3 - 9 \cdot 243}{243}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 9 \cdot 243}{243}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 9$ par $243$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 2187}{243}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Soustrayez $96$ de $64$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 32 - 2187}{243}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $2187$ de $- 32$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 2219}{243}$

Étape 4.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{9}) = - \frac{2219}{243}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{2219}{243}$ .

$- \frac{2219}{243}$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ sont $y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$ .

$y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$

Étape 6