Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 3$ et $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 3 = 0$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} = 3$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{3} = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Étape 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{4}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Étape 3.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ comme $4$ .

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Étape 3.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4}$ comme $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Étape 3.4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Étape 3.4.4.3

Réécrivez $16$ comme $2^{3} \cdot 2$ .

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Étape 3.4.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Étape 3.4.4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Étape 3.4.4.5

Associez les exposants.

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Étape 3.4.4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Étape 3.4.4.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Étape 3.4.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Étape 3.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ sur $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.2.2

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.2.3

Réécrivez $1296$ comme $6^{3} \cdot 6$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Factorisez $216$ à partir de $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.2.3.2

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $16$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.5

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Étape 4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Étape 4.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Étape 4.2.5.1.2

Soustrayez $12 \sqrt[3]{6}$ de $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Étape 4.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ est $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Forme décimale :

$y = - 0.04426066 \dots$

Étape 7