Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{\ln (4 x + 1)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\ln (4 x + 1)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \ln (4 x + 1)$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 - x^{2}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 - x^{2}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 8.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\ln (4 x + 1) (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\ln (4 x + 1)$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 14.2

Associez $- 2$ et $\frac{\ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 \ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 14.3

Associez $\frac{- 2 \ln (4 x + 1)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{- 2 \ln (4 x + 1) x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \ln (4 x + 1) x$ .

$\frac{\frac{2 (- \ln (4 x + 1) x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (- \ln (4 x + 1) x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (- \ln (4 x + 1) x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 1)]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

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Étape 17.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x + 1$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x + 1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 17.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x + 1$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18

Différenciez.

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Étape 18.1

Associez $\frac{1}{4 x + 1}$ et ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1]}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} (4 + \frac{d}{d x} [1])}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} (4 + 0)}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.7

Associez les fractions.

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Étape 18.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} \cdot 4}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.7.3

Associez $- 4$ et $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 18.7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 19

Pour écrire $- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 20

Pour écrire $- \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} \cdot \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 x + 1) {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 21.1

Multipliez $\frac{\ln (4 x + 1) x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x (4 x + 1)}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1} \cdot \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 21.2

Multipliez $\frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4 x + 1}$ par $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x (4 x + 1)}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(4 x + 1) {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 21.3

Réorganisez les facteurs de $(4 x + 1) {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\ln (4 x + 1) x (4 x + 1)}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)} - \frac{4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 23

Multipliez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 23.1

Déplacez ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 23.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 {(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 23.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 23.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 {(9 - x^{2})}^{1}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 24

Simplifiez $- 4 {(9 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 (9 - x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 25

Réécrivez $\frac{\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 (9 - x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}}{\ln^{2} (4 x + 1)}$ comme un produit.

$\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 (9 - x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 26

Multipliez $\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 (9 - x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}$ par $\frac{1}{\ln^{2} (4 x + 1)}$ .

$\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 (9 - x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x + 1) - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \ln (4 x + 1) x (4 x) - \ln (4 x + 1) x \cdot 1 - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- \ln (4 x + 1) (x \cdot x) \cdot 4 - \ln (4 x + 1) x \cdot 1 - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- \ln (4 x + 1) x^{2} \cdot 4 - \ln (4 x + 1) x \cdot 1 - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \ln (4 x + 1) x^{2} \cdot 4 - \ln (4 x + 1) x - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.4

Multipliez $- \ln (4 x + 1) x^{2} \cdot 4$ .

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Étape 27.2.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 \ln (4 x + 1) x^{2} - \ln (4 x + 1) x - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.4.2

Simplifiez $- 4 \ln (4 x + 1)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{- \ln ({(4 x + 1)}^{4}) x^{2} - \ln (4 x + 1) x - 4 \cdot 9 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{- \ln ({(4 x + 1)}^{4}) x^{2} - \ln (4 x + 1) x - 36 - 4 (- x^{2})}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{- \ln ({(4 x + 1)}^{4}) x^{2} - \ln (4 x + 1) x - 36 + 4 x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln ({(4 x + 1)}^{4}) x^{2} - \ln (4 x + 1) x - 36 + 4 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} \ln ({(4 x + 1)}^{4}) - x \ln (4 x + 1) - 36 + 4 x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \ln^{2} (4 x + 1)}$

Étape 27.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(4 x + 1)}^{4}) - x \ln (4 x + 1) - 36}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \ln^{2} (4 x + 1) (4 x + 1)}$