Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.2

Multiplier chaque terme dans $2 x + \frac{1}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez chaque terme dans $2 x + \frac{1}{x} = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.2.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 1$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 2.3.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 2.3.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.3.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.3.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Il est impossible de déterminer une tangente sur un point imaginaire. Le point sur $x =$ n’existe pas sur le système de coordonnées réel.

Il est impossible de déterminer une tangente à partir de la racine

Étape 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Étape 5