Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

Étape 2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ sur $x = - 1.39902337$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.39902337$ dans l’expression.

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 1.39902337$ à la puissance $6$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1.39902337$ à la puissance $3$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 2.73826144$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

Étape 3.2.1.4

Élevez $- 1.39902337$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1.9572664$ .

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $13.69130723$ de $7.49807575$ .

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $1.9572664$ de $- 6.19323148$ .

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $- 8.15049788$ et $9$ .

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0.84950211$ .

$0.84950211$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ sur $x = 0$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

Étape 4.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

Étape 4.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$f (0) = 9$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ sur $x = 0.13320739$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.13320739$ dans l’expression.

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $0.13320739$ à la puissance $6$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Étape 5.2.1.2

Élevez $0.13320739$ à la puissance $3$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $5$ par $0.00236365$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

Étape 5.2.1.4

Élevez $0.13320739$ à la puissance $2$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $0.0177442$ .

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0.00000558$ et $0.01181829$ .

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $0.0177442$ de $0.01182388$ .

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 0.00592032$ et $9$ .

$f (0.13320739) = 8.99407967$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $8.99407967$ .

$8.99407967$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ sont $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ .

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

Étape 7