Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $192$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $192 x$ par rapport à $x$ est $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.4.3

Multipliez $192$ par $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + \frac{d}{d x} [15]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $6 x^{2} + 72 x + 192$ et $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 72 x + 192 = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 72 x + 192$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 72 x + 192 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $72 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 192 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $192$ .

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (12 x)$ .

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32$ .

$6 (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $12$ .

$4, 8$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x + 4) (x + 8)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.4

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x + 4) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = - 4, - 8$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ sur $x = - 4$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 \cdot 16 + 192 (- 4) + 15$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $36$ par $16$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 + 192 (- 4) + 15$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $192$ par $- 4$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 - 768 + 15$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- 128$ et $576$ .

$f (- 4) = 448 - 768 + 15$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $768$ de $448$ .

$f (- 4) = - 320 + 15$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $- 320$ et $15$ .

$f (- 4) = - 305$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 305$ .

$- 305$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ sur $x = - 8$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 512$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 \cdot 64 + 192 (- 8) + 15$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $36$ par $64$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 + 192 (- 8) + 15$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $192$ par $- 8$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 - 1536 + 15$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 1024$ et $2304$ .

$f (- 8) = 1280 - 1536 + 15$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1536$ de $1280$ .

$f (- 8) = - 256 + 15$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 256$ et $15$ .

$f (- 8) = - 241$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 241$ .

$- 241$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ sont $y = - 305, y = - 241$ .

$y = - 305, y = - 241$

Étape 6