Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x - 7$ et $0$ .

$4 x - 7$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - 7 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 7$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 7$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 7$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ sur $x = \frac{7}{4}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{4}) = 2 {(\frac{7}{4})}^{2} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 7 (\frac{7}{4})$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Associez $- 7$ et $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} + 5$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} + 5$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 5$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{49}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{49}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 49$ par $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 5 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $5$ par $8$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 40}{8}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $98$ de $49$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 49 + 40}{8}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $- 49$ et $40$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 9}{8}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7}{4}) = - \frac{9}{8}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{8}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ est $y = - \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Étape 5