Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$16 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x + 6 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $16 x + 6$ et $0$ .

$16 x + 6$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 x + 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$16 x = - 6$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $16 x = - 6$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x = - 6$ par $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 6}{16}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $16$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{16}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 3}{8}$

Étape 2.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{8}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ sur $x = - \frac{3}{8}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 {(- \frac{3}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (1 (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{64}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 (8)}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 \cdot 8}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (\frac{- 3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 (3) (\frac{- 3}{8}) + 1$

Étape 3.2.1.7.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Étape 3.2.1.7.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Étape 3.2.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 3 (\frac{- 3}{4}) + 1$

Étape 3.2.1.8

Associez $3$ et $\frac{- 3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} + 1$

Étape 3.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 8}{8}$

Étape 3.2.4.3

Additionnez $- 9$ et $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 1}{8}$

Étape 3.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{8}) = - \frac{1}{8}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ est $y = - \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8}$

Étape 5