Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 2.6

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ sur $x = 2 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Étape 3.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $8 π$ et $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $8 π$ .

$8 π$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ est $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Étape 5