Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 4 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $12 x - 4$ et $0$ .

$12 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x = 4$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $12 x = 4$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 4$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.5

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Étape 3.2.1.6

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Étape 3.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Étape 3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.4

Associez $5$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Étape 3.2.6.2

Soustrayez $2$ de $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ est $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Étape 5