Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [210 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [210 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $210$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $210 x$ par rapport à $x$ est $210 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.4.3

Multipliez $210$ par $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $6 x^{2} + 72 x + 210$ et $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 210$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 72 x + 210 = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 72 x + 210$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 72 x + 210 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $72 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 210 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $210$ .

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 35 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (12 x)$ .

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 35 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 35$ .

$6 (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} + 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $12$ .

$5, 7$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x + 5) (x + 7) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 2.4

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x + 5) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = - 5, - 7$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ sur $x = - 5$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 36 {(- 5)}^{2} + 210 (- 5) + 11$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 36 \cdot 25 + 210 (- 5) + 11$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $36$ par $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 900 + 210 (- 5) + 11$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $210$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 900 - 1050 + 11$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- 250$ et $900$ .

$f (- 5) = 650 - 1050 + 11$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $1050$ de $650$ .

$f (- 5) = - 400 + 11$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $- 400$ et $11$ .

$f (- 5) = - 389$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 389$ .

$- 389$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ sur $x = - 7$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = 2 {(- 7)}^{3} + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f (- 7) = 2 \cdot - 343 + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 343$ .

$f (- 7) = - 686 + 36 {(- 7)}^{2} + 210 (- 7) + 11$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f (- 7) = - 686 + 36 \cdot 49 + 210 (- 7) + 11$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $36$ par $49$ .

$f (- 7) = - 686 + 1764 + 210 (- 7) + 11$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $210$ par $- 7$ .

$f (- 7) = - 686 + 1764 - 1470 + 11$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 686$ et $1764$ .

$f (- 7) = 1078 - 1470 + 11$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1470$ de $1078$ .

$f (- 7) = - 392 + 11$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $- 392$ et $11$ .

$f (- 7) = - 381$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 381$ .

$- 381$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 210 x + 11$ sont $y = - 389, y = - 381$ .

$y = - 389, y = - 381$

Étape 6