Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 200 x - 0.1 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $200 x - 0.1 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [200 x] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [200 x] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [200 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $200 x$ par rapport à $x$ est $200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$200 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$200 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $200$ par $1$ .

$200 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.1 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 0.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.1 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$200 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$200 - 0.1 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$200 - 0.2 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 0.2 x + 200$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 0.2 x + 200 = 0$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $200$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.2 x = - 200$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 0.2 x = - 200$ par $- 0.2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 0.2 x = - 200$ par $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{- 200}{- 0.2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{- 200}{- 0.2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 200}{- 0.2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 200$ par $- 0.2$ .

$x = 1000$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 200 x - 0.1 x^{2}$ sur $x = 1000$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1000$ dans l’expression.

$f (1000) = 200 (1000) - 0.1 {(1000)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $200$ par $1000$ .

$f (1000) = 200000 - 0.1 {(1000)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $1000$ à la puissance $2$ .

$f (1000) = 200000 - 0.1 \cdot 1000000$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 0.1$ par $1000000$ .

$f (1000) = 200000 - 100000$

Étape 3.2.2

Soustrayez $100000$ de $200000$ .

$f (1000) = 100000$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $100000$ .

$100000$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 200 x - 0.1 x^{2}$ est $y = 100000$ .

$y = 100000$

Étape 5