Calcul infinitésimal Exemples

$\csc (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Étape 1.2

Réorganisez les facteurs de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Étape 2.2

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.2.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.2.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.2.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 2.2.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 2.2.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.2.2.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 2.2.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.2.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.2.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.2.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.2.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.3

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 2.3.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- \cot (x) \csc (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \csc (x)$ sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \csc (x)$ sur $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 4.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Étape 4.2.5

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Étape 4.2.7

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \csc (x)$ est $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Étape 6