Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Étape 1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.8.2

Associez des termes.

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}$

Étape 1.8.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.2

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Aucune solution n’est trouvée en définissant la dérivée égale à $0$ , $- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ si bien qu’il n’y a pas de droite tangente horizontale.

Aucune tangente horizontale n’a été trouvée

Étape 4