Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (2 x) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin (2 x) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 2.6.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 \cos (2 x)$ sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

Étape 3.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 \cos (2 x)$ est $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ .

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

Étape 5