Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 36 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ sur $x = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

Étape 3.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 81$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 81$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 81$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $81$ .

$f (0) = 81$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $81$ .

$81$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ sur $x = - 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = 81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 81 - 18 \cdot 9 + 81$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 81$ et $81$ .

$f (- 3) = 0$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ sont $y = 81, y = 0, y = 0$ .

$y = 81, y = 0, y = 0$

Étape 6