Calcul infinitésimal Exemples

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Étape 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{6} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Étape 2.2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$2 y y' + 12$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Factorisez $2 y y'$ à partir de $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $2 y y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $2 y y'$ à partir de $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ par $2 y (3 y^{4} - 1)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ par $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $3 y^{4} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Soustrayez $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Étape 3.2.3.2

Divisez $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés par $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y (3 y^{4} - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Associez $2$ et $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $y (3 y^{4} - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Étape 3.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} = 12$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 3.5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 3.5.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Étape 3.5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x^{2} = 4$

Étape 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Étape 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Étape 7