Calcul infinitésimal Exemples

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Étape 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = - x

$b = - x$ et

c = - 12

$c = - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour

y

$y$ .

\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de produit à

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

+

$+$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de produit à

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.4.3

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

+

$+$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

-

$-$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Appliquez la règle de produit à

- x

$- x$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot - 12

$- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 12

$- 12$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.5.3

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

-

$-$ .

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 2

Set each solution of

y

$y$ as a function of

x

$x$ .

y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 3

Because the

y

$y$ variable in the equation

y^{2} - x y - 12 = 0

$y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than

1

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

y^{2} - x y - 12

$y^{2} - x y - 12$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = x^{2}$ et

$g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est

$n u^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

$y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3

Évaluez

$\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- x y$ par rapport à

$x$ est

$- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

$f (x) = x$ et

$g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez

$\frac{d}{d x} [y]$ comme

$y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.5

Multipliez

$y$ par

$1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.4

Comme

$- 12$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 12$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Étape 3.2.5.2

Additionnez

$2 y y' - x y' - y$ et

$0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Étape 3.3

Comme

$0$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$0$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Étape 3.5

Résolvez

$y'$ .

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Étape 3.5.1

Ajoutez

$y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x y' = y$

Étape 3.5.2

Factorisez

$y'$ à partir de

$2 y y' - x y'$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez

$y'$ à partir de

$2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Étape 3.5.2.2

Factorisez

$y'$ à partir de

$- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Étape 3.5.2.3

Factorisez

$y'$ à partir de

$y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans

$y' (2 y - x) = y$ par

$2 y - x$ et simplifiez.

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Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans

$y' (2 y - x) = y$ par

$2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$2 y - x$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez

$y'$ par

$1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.6

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 4

The roots of the derivative

$\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Étape 5