Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - x$ et $c = - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 1.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - x y - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Étape 3.2.4

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Étape 3.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $2 y y' - x y' - y$ et $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Étape 3.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - x y' = y$

Étape 3.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' - x y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x) = y$ par $2 y - x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y - x) = y$ par $2 y - x$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Étape 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Étape 5