Calcul infinitésimal Exemples

$18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$- 18 \sin (x) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $9$ .

$- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 \sin (x) + 18 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 18 \sin (x) + 18 \cdot 1 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$- 18 \sin (x) + 18 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $18$ .

$- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18 \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $18$ à partir de $18$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $18$ à partir de $- 36 \sin^{2} (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $18$ à partir de $18 (- \sin (x)) + 18 (1)$ .

$18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $18$ à partir de $18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$18 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$18 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$18 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 2.4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.4.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 2.4.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 2.4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 2.5.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.5.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.5.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.5.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.5.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 2.5.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ sur $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 18 \cos (\frac{π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 18 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (9) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (9 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Étape 3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 3.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.2.1.5

Associez $9$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $9 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.3.1

Associez $9 \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2 + 9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{18 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $18 \sqrt{3}$ et $9 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ sur $x = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 4 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.4.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{5 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \cos (\frac{π}{6})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 (9) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (9 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 9 (- \sqrt{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Étape 4.2.1.9

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 4.2.1.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1.10.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}))$

Étape 4.2.1.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}))$

Étape 4.2.1.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}))$

Étape 4.2.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 4 π}{6}))$

Étape 4.2.1.12.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 4.2.1.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Étape 4.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Étape 4.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{5 π}{3})$

Étape 4.2.1.14

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.2.1.15

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.2.1.16

Multipliez $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 4.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.1.16.2

Associez $- 9$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 9 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.3.1

Associez $- 9 \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2 - 9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 18 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $9 \sqrt{3}$ de $- 18 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ est $y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6