Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 27 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 27 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 27 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$3 x^{2} - 27$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 27$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 27$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 27$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Divisez $27$ par $3$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 27 x$ sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{3} - 27 \cdot 3$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27 - 27 \cdot 3$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $3$ .

$f (3) = 27 - 81$

Étape 3.2.2

Soustrayez $81$ de $27$ .

$f (3) = - 54$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 54$ .

$- 54$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 27 x$ sur $x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = - 27 - 27 \cdot - 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 27 + 81$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 27$ et $81$ .

$f (- 3) = 54$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $54$ .

$54$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 27 x$ sont $y = - 54, y = 54$ .

$y = - 54, y = 54$

Étape 6