Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Il est impossible de déterminer une tangente sur un point imaginaire. Le point sur $x =$ n’existe pas sur le système de coordonnées réel.

Il est impossible de déterminer une tangente à partir de la racine

Étape 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + x$ .

No horizontal tangent lines

Étape 5