Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 7$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

Étape 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Différenciez.

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Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ par $3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Étape 3.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

Étape 5.2.3

Additionnez $7$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \sqrt[3]{7}$

Forme décimale :

$y = 1.91293118 \dots$

Étape 8