Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Étape 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Étape 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Étape 2.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 2.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 (x y' + y)$

Étape 2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y' + 2 y$

Étape 2.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Étape 2.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 2.5.1

Soustrayez $2 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 2 x$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Étape 2.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 2 y$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 2 y$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Étape 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Étape 3.2.4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Étape 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Étape 4.2.2

Associez $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ et $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Étape 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Étape 5.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Étape 5.2.3

Associez $y$ et $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Étape 5.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 7