Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{2} - x$ sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

Étape 3.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 3.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{2} - x$ est $y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 5