Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = x$ et $c = x^{2} - 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} + 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} + 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.5.7

Réécrivez $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ comme $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} + 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.6.7

Réécrivez $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ comme $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Étape 1.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Étape 3.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Étape 3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 3.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + 2 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ par $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.5.1

Réécrivez $- (2 x + y)$ comme $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Étape 3.5.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x + y = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - y$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2}$

Étape 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{y}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Étape 5.2.1.5

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Étape 5.2.1.6

Associez $12$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Étape 5.2.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $12$ par $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Étape 5.2.1.9

Associez $3$ et $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Étape 5.2.1.10

Réécrivez $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Étape 5.2.1.10.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Étape 5.2.1.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Étape 5.2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Étape 5.2.1.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Étape 5.2.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Étape 5.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.2.3

Multipliez $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 5.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 5.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 5.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 5.2.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Réécrivez $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ comme $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 5.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Étape 5.2.7.4

Multipliez $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 5.2.8

La réponse finale est $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{y}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Étape 6.2.1.5

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Étape 6.2.1.6

Associez $12$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Étape 6.2.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $12$ par $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Étape 6.2.1.9

Associez $3$ et $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Étape 6.2.1.10

Réécrivez $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Étape 6.2.1.10.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Étape 6.2.1.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Étape 6.2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Étape 6.2.1.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Étape 6.2.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Étape 6.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 6.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 6.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 6.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 6.2.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.1

Réécrivez $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ comme $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Étape 6.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 6.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Étape 6.2.7.4

Multipliez $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 6.2.8

La réponse finale est $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Étape 8