Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Étape 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 1.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 1.4.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Étape 1.4.4

Réécrivez $\frac{x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{1}{3}$ et $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Étape 1.4.6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Étape 1.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Étape 1.4.6.3

Multipliez $\frac{1 + x}{3}$ par $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Étape 1.4.6.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Étape 1.4.7

Réécrivez $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Étape 1.4.7.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 1.4.7.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Étape 1.4.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.4.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Étape 1.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Étape 1.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Étape 1.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Étape 3.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 y y' + 2 x$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$18 y y' + 2 x = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$18 y y' = - 2 x$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $18 y y' = - 2 x$ par $18 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $18 y y' = - 2 x$ par $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Étape 3.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $1 - (0)$ par $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Étape 5.2.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $1 - (0)$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Étape 6.2.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Étape 8