Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 + \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.1.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - 2 \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.4.4

Réécrivez $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ comme $- (1 + 2 \sin (x))$ .

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1.9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 2.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 2.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 2.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.2.8

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 2.2.8.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.8.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.2.8.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.8.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 2.2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 2.2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 2.2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Étape 3.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 3.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Étape 3.2.2.6.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ sur $x = \frac{11 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Étape 4.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Étape 4.2.2.6.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.5

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ sont $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6