Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $x^{2} - 3$ et $0$ .

$x^{2} - 3$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ sur $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ sur $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ sont $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Étape 6