Calcul infinitésimal Exemples

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Étape 1.2

Simplifiez $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Étape 1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 1.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 1.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Étape 1.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 1.3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Étape 1.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(y - 2)}^{2}$ comme $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Étape 3.2.2

Développez $(y - 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $2 y$ de $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Étape 3.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 4 y + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 3.2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Étape 3.2.10

Additionnez $2 y y' - 4 y'$ et $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Étape 3.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (x - 3)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (1 + 0)$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \cdot 1$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' - 4 y'$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 2) = 4$ par $2 (y - 2)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 2) = 4$ par $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 4.2

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 5

Aucune solution n’est trouvée en définissant la dérivée égale à $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ si bien qu’il n’y a pas de droite tangente horizontale.

Aucune tangente horizontale n’a été trouvée

Étape 6