Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} = 26 y$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $26 y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 26 y = 0$

Étape 1.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 26$ et $c = x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 26$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3

Simplifiez

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 26 + 2 x$ .

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Étape 1.4.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 1.4.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 26 - 2 x$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6

Réécrivez $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ comme $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

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Étape 1.4.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 1.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 26$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3

Simplifiez

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Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 26 + 2 x$ .

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Étape 1.5.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 1.5.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 26 - 2 x$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6

Réécrivez $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ comme $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

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Étape 1.5.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 1.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 26$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 \cdot (1 x)) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3

Simplifiez

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Étape 1.6.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(- 26 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 26 + 2 x$ .

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Étape 1.6.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{(2 \cdot - 13 + 2 x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 13 + 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 1.6.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (- 26 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 26 - 2 x$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 13) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2 (- 13 + x) \cdot (2 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{4 (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6

Réécrivez $4 (- 13 + x) (- 13 - x)$ comme $2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))$ .

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Étape 1.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} (- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{26 \pm \sqrt{2^{2} ((- 13 + x) (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{26 \pm 2 \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 13 \pm \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 1.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 1.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

$y = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)} \to f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 26 y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (26 y)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Différenciez.

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Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 3.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 3.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $26$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $26 y$ par rapport à $x$ est $26 \frac{d}{d x} [y]$ .

$26 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$26 y'$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = 26 y'$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $26 y'$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 2 x - 26 y' = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' - 26 y' = - 2 x$

Étape 3.5.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' - 26 y'$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y - 26 y' = - 2 x$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 26 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 13 = - 2 x$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot - 13$ .

$2 y' (y - 13) = - 2 x$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 13) = - 2 x$ par $2 (y - 13)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 13) = - 2 x$ par $2 (y - 13)$ .

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y - 13)}{2 (y - 13)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 13$ .

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Étape 3.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 13)}{y - 13} = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.5.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 13)}$

Étape 3.5.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{y - 13}$

Étape 3.5.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y - 13}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y - 13}$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = 13 + \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = 13 + \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 13$ et $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 13$ et $0$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $- 13$ par $- 13$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{169}$

Étape 5.2.2.5

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$f (0) = 13 + \sqrt{13^{2}}$

Étape 5.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 13 + 13$

Étape 5.2.3

Additionnez $13$ et $13$ .

$f (0) = 26$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $26$ .

$26$

Étape 6

Solve the function $f (x) = 13 - \sqrt{(- 13 + x) (- 13 - x)}$ at $x = 0$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = 13 - \sqrt{(- 13 + 0) (- 13 - (0))}$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 13$ et $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 - (0))}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 (- 13 + 0)}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 13$ et $0$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{- 13 \cdot - 13}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $- 13$ par $- 13$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{169}$

Étape 6.2.2.5

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$f (0) = 13 - \sqrt{13^{2}}$

Étape 6.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 13 - 1 \cdot 13$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$f (0) = 13 - 13$

Étape 6.2.3

Soustrayez $13$ de $13$ .

$f (0) = 0$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 26, y = 0$

$y = 26, y = 0$

Étape 8