Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 1.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Étape 1.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{16}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Étape 1.3.2.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Étape 1.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Étape 1.3.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Étape 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Étape 1.5.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.8

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Étape 1.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Étape 1.5.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Étape 1.5.11

Multipliez $\frac{4 + x}{2}$ par $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Étape 1.5.13

Réécrivez $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Étape 1.5.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Étape 1.5.13.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 1.5.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Étape 1.5.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 1.5.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 1.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 1.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 1.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{16}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.4

Associez $\frac{2}{16}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 3.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Étape 3.2.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Étape 3.2.3.5

Associez $y$ et $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Étape 3.2.3.6

Associez $\frac{y \cdot 2}{4}$ et $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Étape 3.2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Étape 3.2.3.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Étape 3.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $\frac{x}{8}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 3.5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 3.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{x}{8})$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{8}$ dans le numérateur.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Étape 3.5.3.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Étape 3.5.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Étape 3.5.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Étape 3.5.3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $y y' = - \frac{x}{4}$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' = - \frac{x}{4}$ par $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 3.5.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Étape 3.5.4.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Étape 5.2.2.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Étape 5.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Étape 5.2.3

Divisez $4$ par $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Étape 6.2.2.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Étape 6.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (0) = - 2$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Étape 8