Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez si la fonction est impaire, paire ou ni l’un ni l’autre pour déterminer la symétrie.

1. S’il est impair, la fonction est symétrique par rapport à l’origine.

2. S’il est pair, la fonction est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 16)}$

Étape 2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 4) (x - 4)}$

Étape 2.4

Réécrivez $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ comme $x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = \sqrt{x^{2} (x + 2^{2}) (x - 4)}$

Étape 2.4.2

Ajoutez des parenthèses.

$f (x) = \sqrt{x^{2} ((x + 2^{2}) (x - 4))}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (x) = x \sqrt{(x + 2^{2}) (x - 4)}$

Étape 2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (x) = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 3

Déterminez $f (- x)$ .

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Étape 3.1

Déterminez $f (- x)$ en remplaçant $- x$ pour toutes les occurrences de $x$ dans $f (x)$ .

$f (- x) = (- x) \sqrt{((- x) + 4) ((- x) - 4)}$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$f (- x) = - x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)}$

Étape 4

Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ .

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Étape 4.1

Vérifiez si $f (- x) = f (x)$ .

Étape 4.2

Comme $- x \sqrt{(- x + 4) (- x - 4)} = x \sqrt{(x + 4) (x - 4)}$ , la fonction est paire.

La fonction est paire

Étape 5

Comme la fonction n’est pas impaire, elle n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Aucune symétrie par rapport à l’origine

Étape 6

Comme la fonction est paire, elle est symétrique par rapport à l’ordonnée.

symétrie par rapport à l’ordonnée

Étape 7