Calcul infinitésimal Exemples

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Il y a trois types de symétries :

1. Symétrie par rapport à l’abscisse

2. Symétrie par rapport à l’ordonnée

3. Symétrie par rapport à l’origine

Étape 2

(x, y)

$(x, y)$ existe sur le graphe, le graphe est symétrique par rapport à :

1. Abscisse si

(x, - y)

$(x, - y)$ existe sur le graphe

2. Ordonnée si

(- x, y)

$(- x, y)$ existe sur le graphe

3. Origine si

(- x, - y)

$(- x, - y)$ existe sur le graphe

Étape 3

Multipliez

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ par

\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ par

\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4.2

Élevez

\sqrt{x^{2} + 1}

$\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance

1

$1$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4.3

Élevez

\sqrt{x^{2} + 1}

$\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance

1

$1$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez

{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ comme

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{x^{2} + 1}

$\sqrt{x^{2} + 1}$ comme

{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Check if the graph is symmetric about the

$x$ -axis by plugging in

$- y$ for

$y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 6

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’abscisse.

Pas symétrique par rapport à l’abscisse

Étape 7

Check if the graph is symmetric about the

$y$ -axis by plugging in

$- x$ for

$x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.1.3

Multipliez

$x^{2}$ par

$1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à

$- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Étape 8.2.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Étape 8.2.3

Multipliez

$x^{2}$ par

$1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 9

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Pas symétrique par rapport à l’ordonnée

Étape 10

Vérifiez si le graphe est symétrique par rapport à l’origine en insérant

$- x$ pour

$x$ et

$- y$ pour

$y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.1.3

Multipliez

$x^{2}$ par

$1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à

$- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Étape 11.2.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Étape 11.2.3

Multipliez

$x^{2}$ par

$1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12

Multipliez les deux côtés par

$- 1$ .

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Étape 12.1

Multipliez chaque terme par

$- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.2

Multipliez

$- - y$ .

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Étape 12.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.2.2

Multipliez

$y$ par

$1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.3

Multipliez

$- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.3.2

Multipliez

$\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ par

$1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 13

Comme l’équation est identique à l’équation d’origine, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Symétrique par rapport à l’origine

Étape 14