Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Il y a trois types de symétries :

1. Symétrie par rapport à l’abscisse

2. Symétrie par rapport à l’ordonnée

3. Symétrie par rapport à l’origine

Étape 2

Si $(x, y)$ existe sur le graphe, le graphe est symétrique par rapport à :

1. Abscisse si $(x, - y)$ existe sur le graphe

2. Ordonnée si $(- x, y)$ existe sur le graphe

3. Origine si $(- x, - y)$ existe sur le graphe

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 6

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’abscisse.

Pas symétrique par rapport à l’abscisse

Étape 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Étape 8.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Étape 8.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 9

Comme l’équation n’est pas identique à l’équation d’origine, elle n’est pas symétrique par rapport à l’ordonnée.

Pas symétrique par rapport à l’ordonnée

Étape 10

Vérifiez si le graphe est symétrique par rapport à l’origine en insérant $- x$ pour $x$ et $- y$ pour $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Étape 11.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Étape 11.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12

Multipliez les deux côtés par $- 1$ .

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Étape 12.1

Multipliez chaque terme par $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.2

Multipliez $- - y$ .

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.3

Multipliez $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 12.3.2

Multipliez $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ par $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Étape 13

Comme l’équation est identique à l’équation d’origine, elle est symétrique par rapport à l’origine.

Symétrique par rapport à l’origine

Étape 14