Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \ln (x^{2} - 1)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} - 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 1 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} > 1$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Étape 2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | > 1$

Étape 2.4

Écrivez $| x | > 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 1$

Étape 2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 1$

Étape 2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.5

Déterminez l’intersection de $x > 1$ et $x \geq 0$ .

$x > 1$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x > 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Étape 2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x < - 1$

Étape 2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 1$ ou $x > 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 1, x > 1}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty), {x | x < - 1, x > 1}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 6