Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$y + 6 = - 16 x$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 16 x - 6$

Étape 2

Utilisez la forme affine pour déterminer la pente.

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Étape 2.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.2

En utilisant la forme affine, la pente est $- 16$ .

$m = - 16$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x$

Étape 4

La dérivée première d’une fonction représente la pente de chaque de cette fonction. Dans ce cas, la dérivée de $f (x) = 8 x^{2}$ est $16 x$ et la pente de la droite donnée $y = - 16 x - 6$ est $m = - 16$ . Pour déterminer le point sur $f (x) = 8 x^{2}$ où la pente de la droite tangente est la même que la pente de la droite donnée $y = - 16 x - 6$ , remplacez la valeur de la pente de la droite donnée $- 16$ pour la valeur de $16 x$ .

$- 16 = 16 x$

Étape 5

Résolvez $- 16 = 16 x$ pour $x$ afin de déterminer la coordonnée x du point où la droite tangente est parallèle à la droite donnée $y = - 16 x - 6$ . Dans ce cas, la coordonnée x est $x = - 1$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $16 x = - 16$ .

$16 x = - 16$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $16 x = - 16$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x = - 16$ par $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $- 16$ par $16$ .

$x = - 1$

Étape 6

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = 8 x^{2}$ afin d’obtenir la coordonnée y du point où la droite tangente est parallèle à la droite donnée $y = - 16 x - 6$ . Dans ce cas, la coordonnée y est $8$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Étape 6.2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (- 1) = 8$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $8$ .

$8$

Étape 7

Le point sur $f (x) = 8 x^{2}$ où la pente de la droite tangente est la même car la pente de la droite donnée $y = - 16 x - 6$ a une coordonnée x de $- 1$ et une coordonnée y de $8$ . La pente de la droite tangente est la même que la pente de $y = - 16 x - 6$ , qui est $m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Étape 8

La tangente sur $(- 1, 8)$ où la pente est $m = - 16$ .

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Étape 8.1

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 8.1.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 8.1.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Étape 8.1.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Étape 8.1.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Étape 8.1.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 8.1.5.1

Réécrivez l’équation comme $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$16 + b = 8$

Étape 8.1.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1.5.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$b = 8 - 16$

Étape 8.1.5.3.2

Soustrayez $16$ de $8$ .

$b = - 8$

Étape 8.2

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = - 16 x - 8$

Étape 9