Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 1.1

Évaluez $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ sur $x = 1$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.1.2.2.1

Soustrayez $5$ de $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Étape 1.1.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$f (1) = 2$

Étape 1.1.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 1.2

Comme $2 = 2$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 4.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.1

Déplacez $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Étape 4.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Étape 4.2.3

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Étape 4.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 6.1.2

Simplifiez

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Étape 6.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Étape 6.1.5

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Étape 6.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Étape 6.1.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Étape 6.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x - 5 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Étape 6.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

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Étape 6.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Étape 6.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Étape 6.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 6.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 6.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Étape 6.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $h + 2 x - 5$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Étape 6.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Étape 8

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 x - 5$

Étape 10

Simplifiez $2 (1) - 5$ .

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$m = 2 - 5$

Étape 10.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$m = - 3$

Étape 11

La pente est $m = - 3$ et le point central est $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Étape 12

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 12.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 12.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Étape 12.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Étape 12.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Étape 12.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’équation comme $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Étape 12.5.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + b = 2$

Étape 12.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.5.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$b = 2 + 3$

Étape 12.5.3.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$b = 5$

Étape 13

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = - 3 x + 5$

Étape 14