Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 9$ , $(0, 9)$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 1.1

Évaluez $f (x) = x^{3} + 9$ sur $x = 0$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} + 9$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 9$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f (0) = 9$

Étape 1.1.2.3

La réponse finale est $9$ .

$9$

Étape 1.2

Comme $9 = 9$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = x^{3} + 9$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 9$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 9$

Étape 4.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 9$

Étape 4.2.3

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 9$

Étape 4.2.4

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

Étape 4.2.5

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

Étape 4.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

$f (x) = x^{3} + 9$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9$

$f (x) = x^{3} + 9$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - (x^{3} + 9)}{h}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - x^{3} - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 9 - x^{3} - 9}{h}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 + 9 - 9}{h}$

Étape 6.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 9 - 9}{h}$

Étape 6.1.5

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 6.1.6

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 6.1.7

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 6.1.7.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Étape 6.1.7.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Étape 6.1.7.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Étape 6.1.7.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 6.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Étape 6.2.2.2

Déplacez $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Étape 6.2.2.3

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 8

Évaluez la limite de $3 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 9

Placez le terme $3 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $3 x \cdot 0$ .

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Étape 12.1.1.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Étape 12.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Étape 12.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 12.2.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 13

Déterminez la pente $m$ . Dans ce cas $m = 0$ .

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Étape 13.1

Supprimez les parenthèses.

$m = 3 \cdot 0^{2}$

Étape 13.2

Simplifiez $3 \cdot 0^{2}$ .

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Étape 13.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$m = 3 \cdot 0$

Étape 13.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$m = 0$

Étape 14

La pente est $m = 0$ et le point central est $(0, 9)$ .

$m = 0, (0, 9)$

Étape 15

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 15.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 15.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (0) \cdot x + b$

Étape 15.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (0) \cdot (0) + b$

Étape 15.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$9 = (0) \cdot (0) + b$

Étape 15.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 15.5.1

Réécrivez l’équation comme $(0) \cdot (0) + b = 9$ .

$(0) \cdot (0) + b = 9$

Étape 15.5.2

Simplifiez $(0) \cdot (0) + b$ .

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Étape 15.5.2.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$0 + b = 9$

Étape 15.5.2.2

Additionnez $0$ et $b$ .

$b = 9$

Étape 16

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 9$

Étape 17