Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Étape 1

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 1.1

Évaluez $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ sur $x = 0$ .

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Étape 1.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.1.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Étape 1.1.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 1.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 1.2

Comme $1 = 1$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 2

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Étape 3

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 4

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 4.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Étape 4.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Étape 5

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x + h + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Étape 6.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 6.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + h + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 6.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.5.6

Additionnez $- h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ dans le numérateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 6.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 7.2

Placez le terme $\frac{1}{x + 1}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Étape 7.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 7.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 9.2

Multipliez $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 9.2.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 9.2.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 9.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 10

Déterminez la pente $m$ . Dans ce cas $m = - 1$ .

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 10.2

Supprimez les parenthèses.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

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Étape 10.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Étape 10.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$m = - \frac{1}{1}$

Étape 10.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$m = - \frac{1}{1}$

Étape 10.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$m = - 1 \cdot 1$

Étape 10.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$m = - 1$

Étape 11

La pente est $m = - 1$ et le point central est $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Étape 12

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 12.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 12.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Étape 12.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Étape 12.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Étape 12.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’équation comme $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Étape 12.5.2

Simplifiez $(- 1) \cdot (0) + b$ .

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Étape 12.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + b = 1$

Étape 12.5.2.2

Additionnez $0$ et $b$ .

$b = 1$

Étape 13

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = - x + 1$

Étape 14